u realni brojevi čine najčešće korišteni skup brojeva u matematici i u svakodnevnom životu. To uključuje racionalni i iracionalni brojevi i kreću se od brojeva koje koristimo za brojanje, mjerenje ili plaćanje, do onih koji se pojavljuju u naprednim konceptima poput računa ili fizike. Bilo koji broj koji se može predstaviti u neprekidna brojevna linija, bilo da je cijeli, razlomljeni ili sa beskonačnim decimalama, dio je realnih brojeva.
Ova grupa je historijski nastala iz potrebe da se opisati tačno Veličine koje se nisu mogle izraziti tadašnjim brojevima. Nejasni izrazi poput "vrlo malo" ili "skoro nula" pokazali su se nedovoljnim za rigorozan razvoj matematičke analize, što je dovelo do formalizacije koncepata graničnog i realnog broja. Mnogi historičari smještaju procese usavršavanja i formalizacije koncepta između... 15. i 17. vijekiako je moderna i rigorozna definicija kasnije konsolidovana.
Iako su drevne civilizacije poput egipatske već koristile frakcijeGrci su proučavali koncept "broja" na filozofskiji način. Pitagorina škola je tvrdila da je "sve broj", a kada su pokušavali izraziti određene dužine (poput dijagonale kvadrata), otkrili su da Nisu sve veličine mogle biti napisane kao razlomci cijelih brojeva.Iz ovoga nastaju iracionalni brojevi, koji će kasnije upotpuniti skup realnih brojeva.
Šta su realni brojevi i kako se predstavljaju?
Realni brojevi su definirani kao svi brojevi koji odgovaraju tački na realnoj brojevnoj pravojOva linija se proteže bez ograničenja lijevo (negativne vrijednosti) i desno (pozitivne vrijednosti), uključujući nulu, razlomke, konačne decimale i beskonačne ponavljajuće i beskonačne neponavljajuće decimale.
Ovaj skup se obično označava slovom R ili simbol ℝFormalno, skup realnih brojeva može se opisati kao unija dva glavna podskupa: racionalni brojevi (Q) i iracionalni brojevi (I). To znači ℝ = Q ∪ I.
Primjeri realnih brojeva su: 5, 0, −9, 3/4, −7/2, 3,45, 0,333… (1/3), √2, √10, π, eizmeđu mnogih drugih. Svi se oni mogu locirati na realnoj brojevnoj liniji pomoću dobro definirane tačke.
Nadalje, realni brojevi su podskup kompleksnih brojevaKompleksni brojevi se predstavljaju kao a + bi, gdje su a i b realni brojevi, a ei je imaginarna jedinica (kvadratni korijen od -1). Kada je b = 0, kompleksni broj a + 0i se poklapa sa realnim brojem, tako da se svaki realni broj može posmatrati kao kompleksni broj sa imaginarnim dijelom jednakim nuli.
Klasifikacija realnih brojeva prema njihovom tipu
Klasifikacija realnih brojeva obično je organizirana u nekoliko ugniježđenih podskupova. Najčešći su prirodni brojevi, cijeli brojevi, racionalno e iracionalnoNa velikoj skali, unutar ℝ nalazimo dvije velike grupe: racionalno e iracionalnoA unutar racionalnih brojeva postoje prirodni, cijeli i razlomljeni brojevi.
1. Racionalni brojevi
Zove se racionalni brojevi svima onima koji se mogu predstaviti kao količnik dvaju cijelih brojevaTo jest, kao razlomak p/q gdje su p i q cijeli brojevi i q ≠ 0. Ovaj skup je predstavljen slovom QRacionalni brojevi uključuju pozitivni brojevi, negativni brojevi i nulaStoga, oni pokrivaju širok raspon veličina.
Racionalni broj se može zapisati kao razlomak, ali se može pojaviti i kao tačna decimala (na primjer 3,5), čista ponavljajuća decimala (0,7777…) ili mješoviti ponavljajući decimalni broj (2,58333…). Bilo koji od ovih slučajeva uvijek dozvoljava reprezentaciju kao razlomak cijelih brojeva.
Racionalni brojevi obuhvataju oboje cijeli brojevi como frakcijskiStoga je svaki cijeli broj (-3, 0, 5…) također racionalan, budući da se može zapisati kao p/1. To znači da ℤ je podskup od Q.
Racionalni brojevi nam omogućavaju da izvodimo operacije bez napuštanja skupa sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje (osim dijeljenja s nulom). Stoga se kaže da je Q zatvoreno za ove operacije.
a) Cijeli brojevi
u cijeli brojevi su skup koji formiraju prirodni brojevi, tvoje negativne suprotnosti y el nulaOni su predstavljeni slovom Z i uključuju vrijednosti kao što su ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...
Na brojevnoj pravoj, pozitivni cijeli brojevi se pojavljuju na desno od nule, nula zauzima centralna tačka a negativni cijeli brojevi se postavljaju na izquierdaOvakav raspored omogućava lako poređenje njihove veličine: što dalje udesno, što je veći broj.
- Oni se zovu prirodni brojevi za koje koristimo broj elemenata ili označavaju redoslijed (1, 2, 3, ...). To su pozitivni cijeli brojevi i obično se označavaju slovom N.
- El nula predstavlja a null vrijednostNula ne dodaje vrijednost kada stoji sama, ali njen položaj u broju potpuno mijenja njegovu vrijednost. Nula desno od cifre množi njenu vrijednost sa deset (2 postaje 20), dok lijevo od nje ne mijenja broj (02 je jednako 2).
- u negativne cijele brojeve Oni predstavljaju situacije suprotne prirodnim, kao što su dugove, temperature ispod nule o nivoi ispod referentne vrijednostiDa bismo ih imenovali, riječ "minus" se stavlja ispred broja: "minus četiri" se piše −4.
Cijeli brojevi su zatvoreni pod sabiranje, oduzimanje i množenjeOperacija između dva cijela broja uvijek rezultira drugim cijelim brojem. Međutim, dijeljenje dva cijela broja može rezultirati brojem koji nije cijeli broj (na primjer, 3/4), tako da oni nisu zatvoreni pri dijeljenju.
b) Frakcionalan
Racionalni brojevi također uključuju razlomci brojeva, koji je nastao za rješavanje problema distribucije kada dijeljenje prirodnih brojeva nije dalo cijeli broj.
Razlomljeni broj je izraz koji označava dijeljenje jedne veličine drugomSastoji se od brojnik (iznos koji se dijeli) i a nazivnik (na koliko dijelova je podijeljeno), odvojeni horizontalnom ili dijagonalnom crtom.
Iako se svaki cijeli broj može posmatrati kao razlomak s nazivnikom 1, u ovom odjeljku se pravi posebna razlika između pravi i nepravi razlomci:
- u pravilni razlomci To su oni kod kojih je brojnik maloljetnika nego nazivnik. Oni predstavljaju količine manji od jednog, na primjer 3/5.
- u nepravilni razlomci imati brojnik veće ili jednako nego nazivnik, koji označava količinu veće ili jednako jedan, kao što su 7/4 ili 5/5.
Nadalje, mnogi racionalni brojevi se mogu zapisati i kao tačne ili ponavljajuće decimaleDakle, broj poput 0,25 je ekvivalentan 1/4 (tačan decimalni broj), dok je 0,333… ekvivalentno 1/3 (čisti periodični decimalni broj).
2. Iracionalni brojevi
u iracionalni brojevi Oni su to Ne mogu se izraziti kao razlomak dva cijela brojaNjegova decimalna reprezentacija je uvijek beskonačan i neperiodičanDecimale se nastavljaju bez ponavljanja u fiksnom obrascu.
Klasični primjeri su broj π (odnos između dužine obima i njegovog prečnika), broj e (osnova prirodnih logaritama), zlatni rez φ ili korijeni prostih brojeva koji nisu potpuni kvadrati, kao što su √2, √3, √5, √7, itd.
Historijski gledano, iracionalni brojevi su nastali kada je Pitagorin učenik pokušao izraziti dijagonalu kvadrata sa stranicom dužine 1 kao razlomak, otkrivši da Nisu postojala dva cijela broja p i q takva da je p/q = √2Uprkos početnom otporu pitagorejske škole, ovo otkriće je pokazalo da skup racionalnih brojeva nije dovoljan za opisivanje svih geometrijskih veličina.
Iracionalna bića se mogu posmatrati kao komplement racionalnih brojeva unutar realnih brojevaTo jest, ako Q nazovemo skupom racionalnih brojeva, a ℝ skupom realnih brojeva, skup iracionalnih brojeva može se opisati kao ℝ − Q: svi realni brojevi koji nisu racionalni.
Nadalje, razlikuju se dvije važne vrste iracionalnih brojeva: algebarski y transcendentno.
- u algebarski brojevi su oni koji predstavljaju rješenje za neke algebarske jednačine sa cjelobrojnim koeficijentima. Na primjer, √2 je iracionalan i algebarski broj, jer je rješenje jednačine x² − 2 = 0.
- u transcendentni brojevi Ne mogu se dobiti kao rješenja bilo koje algebarske jednačine sa cjelobrojnim koeficijentima. Nisu izraženi konačnim brojem korijena i njegovi decimalni brojevi ne prate nijedan prepoznatljiv obrazacTo uključuje π i e.
Osnovna svojstva realnih brojeva
Skup realnih brojeva nam omogućava da izvodimo operacije sabiranje i množenje ispunjavajući niz svojstava koja olakšavaju računanje i matematičko zaključivanje. Među najvažnijima su zaključati, u komutativnost, u asocijativnost, u postojanje neutralnih elemenata I to postojanje inverza.
Zaključaj
Imovina zaključati označava da je zbir ili proizvod dva realna broja uvijek drugi realni brojAko a i b pripadaju skupu ℝ, onda a + y a·b također pripadaju skupu ℝ. To nam omogućava da operišemo bez napuštanja skupa, što je ključno za razvoj algebre i analize.
Komutativno svojstvo
La komutativno svojstvo U njemu se navodi da je rezultat sabiranja ili množenja dva realna broja Ne zavisi od redoslijeda gdje se operacija izvodi. To jest, a + b = b + aya·b = b·a za sve realne brojeve a i b. Ovo svojstvo znatno pojednostavljuje izračunavanja i pisanje izraza.
asocijativno svojstvo
La asocijativno svojstvo označava da, prilikom sabiranja ili množenja tri ili više realnih brojevaNačin na koji su grupirani ne utiče na rezultat. U simbolima: (a + b) + c = a + (b + c) i (a·b)·c = a·(b·c). Zahvaljujući tome, duge operacije se mogu reorganizovati kako bi se lakše rješavale.
Neutralni element
U stvarnim brojkama postoje dva neutralni elementi osnovno:
- El nula je neutralni aditivjer njegovo dodavanje bilo kojem realnom broju ne mijenja njegovu vrijednost: a + 0 = a.
- El Uno je multiplikativni identitet, budući da množenje s bilo kojim realnim brojem daje isti broj: a·1 = a.
Aditivni i multiplikativni inverz
Za svaki realni broj postoji aditivni inverz i, osim nule, a multiplikativni inverz:
- El aditivni inverz Aditivni identitet broja a je −a, jer kada se saberu, dobija se aditivni identitet: a + (−a) = 0.
- El multiplikativni inverz o recipročan broja a ≠ 0 je 1/a, jer je a·(1/a) = 1.
Realni brojevi na brojevnoj pravoj i u svakodnevnom životu
Svaki realni broj može se predstaviti pomoću tačka na brojevnoj pravojSvaka tačka na toj liniji odgovara jedinstvenom realnom broju. Ova potpuna korespondencija nam omogućava da vizualiziramo operacije kao što su sabiranje (pomjeranje udesno ili lijevo), oduzimanje, nejednakosti i udaljenosti.
Na realnoj brojevnoj liniji, redoslijed brojeva određuje se svojim položajem: što je tačka dalje udesno, Što je veći broj povezano; što dalje lijevo, to će biti manjeNe postoji "posljednji" pozitivan ili negativan realni broj, jer skup ℝ sadrži beskonačni elementi u oba smjera.
U svakodnevnom životu, realni brojevi se stalno koriste: na primjer mjerenje dužina (metri, centimetri), ekspresne temperature (pozitivni i negativni stepeni), izračunaj vremena, upravljati novcem (salda, dugovi, kamate), uporedite rasporede o analizirati podatke u statistici i ekonomiji.
U naučnoj i tehnološkoj oblasti, realni brojevi su osnova diferencijalni i integralni račun, u klasična i moderna fizika, u inženjering, u IT i mnoge druge discipline. Veličine poput brzine, ubrzanja, energije ili intenziteta izražavaju se realnim brojevima, a njihovo pravilno rukovanje omogućava modeliranje složenih fenomena.
Razumijevanje klasifikacije realnih brojeva, njihovih podskupova i svojstava ne samo da olakšava proučavanje matematike, već i Jača logičko i apstraktno razmišljanje.Pomaže u strukturiranju razmišljanja i poboljšava sposobnost rješavanja problema u vrlo različitim kontekstima.